Bir serinin kısmi toplamı
Σ sembolüyle yazılan toplamları elle hesaplamak, terim sayısı arttıkça imkânsız hâle gelir. Seri toplamı hesaplama aracı, n’ye bağlı yazdığın genel terimi başlangıç değerinden bitiş değerine kadar tek tek hesaplar ve toplar. Seri toplamı hesaplama sonucunda son terimin değeri de verilir; bu sayede terimlerin sıfıra ne kadar hızlı yaklaştığını görürsün.
Yöntem doğrudan toplamadır: n = a’dan n = b’ye kadar her terim hesaplanıp birikimli toplama eklenir. Bitiş değerini büyüterek kısmi toplamların bir sayıya yerleşip yerleşmediğini izleyebilirsin; yerleşiyorsa seri yakınsıyordur. Terimlerin sıfıra gitmesi yakınsama için gereklidir ama yeterli değildir; harmonik seri 1/n bunun ünlü örneğidir ve yavaş da olsa sonsuza gider. İlk 1000 teriminin toplamı yalnızca 7,49 civarındadır, ama terim sayısını artırdıkça bu değer sınırsızca büyümeye devam eder. Bu yüzden ekranda gördüğün kısmi toplamı sonsuz toplamla karıştırmamalısın.
Örnek: aₙ = 1/n² serisini n = 1’den 1000’e kadar toplarsan yaklaşık 1,6439346 elde edersin. Bu serinin sonsuz toplamı π²/6 ≈ 1,6449341’dir; aradaki 0,001’lik fark, 1000’den sonraki terimlerin toplamıdır. Son terim 1/1.000.000 = 0,000001 olarak görünür.
- Genel terimde n değişkenini kullan, x değil.
- Çok büyük bitiş değerleri hesaplama süresini uzatabilir.
- (-1)^n içeren serilerde kısmi toplamlar iki değer arasında salınarak yakınsar.
Sabit farklı ya da sabit oranlı diziler için kapalı formüller daha hızlıdır; bunlar için aritmetik dizi ve geometrik dizi araçlarını kullanabilirsin. Seriler finansta da karşına çıkar: düzenli ödemelerin bugünkü değeri, indirgenmiş nakit akışlarının toplamıdır ve bunu net bugünkü değer hesaplamasıyla bulabilirsin. Bu araç bir sayısal yardımcıdır; ispat gerektiren yakınsama sorularında yakınsama testlerini ayrıca uygulamalısın.