Geometrik dizi

3, 6, 12, 24, 48 dizisine bakarsan her sayının bir öncekinin iki katı olduğunu görürsün. Terimler arasındaki ilişkinin toplama değil çarpma olduğu bu tür dizilere geometrik dizi denir. Sabit çarpana ortak çarpan (r) adı verilir.

Genel terim

aₙ = a₁ × r^(n − 1)

a₁ = 3, r = 2 için beşinci terim 3 × 2⁴ = 48'dir.

İlk n terimin toplamı

Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) / (r − 1), r ≠ 1

Aynı dizide ilk beş terimin toplamı 3 × (32 − 1) / (2 − 1) = 3 × 31 = 93 olur. Sağlama: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Terim, toplam ya da eksik çarpanı bulmak için geometrik dizi hesaplama aracını kullanabilirsin.

Sonsuz toplam

Ortak çarpanın mutlak değeri 1'den küçükse terimler giderek küçülür ve sonsuz toplam sonlu bir değere yakınsar:

S∞ = a₁ / (1 − r)

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … toplamı 1 / (1 − 0,5) = 2'dir. |r| ≥ 1 olduğunda ise toplam sınırsız büyür ve seri ıraksak olur. Farklı serilerin toplamlarını seri toplamı aracında inceleyebilirsin.

Aritmetik diziden farkı

Aritmetik dizide her adımda aynı sayı eklenir (2, 5, 8, 11…); geometrik dizide aynı sayıyla çarpılır. Aritmetik dizi doğrusal, geometrik dizi üstel büyür.

Gündelik karşılıkları

• Bileşik faizde her yılın bakiyesi bir geometrik dizi oluşturur.
• Her yıl aynı oranda değer kaybeden bir aracın değeri, ortak çarpanı 1'den küçük bir dizidir.
• Bakteri çoğalması ve radyoaktif bozunma da aynı yapıyı izler.