Lucas sayıları

Fibonacci dizisini bilen biri Lucas sayılarını hemen tanır: kural aynıdır, yalnızca başlangıç farklıdır. Dizi adını 19. yüzyılda bu sayıları ayrıntılı inceleyen Fransız matematikçi Édouard Lucas'tan alır.

Tanım

L₀ = 2, L₁ = 1 ve n ≥ 2 için Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂. İlk terimler şöyledir: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123… Buna göre L₁₀ = 123'tür.

Fibonacci ile ilişkisi

Lucas ve Fibonacci sayıları birbirine sıkı bağlıdır. Fₙ n'inci Fibonacci sayısı olmak üzere:

• Lₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₊₁. Örneğin L₅ = F₄ + F₆ = 3 + 8 = 11.
• F₂ₙ = Fₙ · Lₙ. Örneğin F₁₀ = F₅ · L₅ = 5 · 11 = 55.

Bu özdeşlikler büyük Fibonacci sayılarını hızlı hesaplamak için de kullanılır.

Altın oranla bağlantı

Ardışık iki Lucas sayısının oranı, Fibonacci'de olduğu gibi altın orana (φ ≈ 1,618) yaklaşır. Daha da ilginci, n ≥ 2 için Lₙ, φⁿ değerinin en yakın tam sayıya yuvarlanmış halidir. φ¹⁰ ≈ 122,99 olduğundan L₁₀ = 123 çıkar. Fibonacci'de aynı yaklaşım için ayrıca √5'e bölmek gerekir; Lucas dizisinde bu gerekmez.

Nerede kullanılır?

Lucas sayıları sayılar teorisinde ve asallık testlerinde önemli yer tutar. Büyük Mersenne asallarını bulmakta kullanılan Lucas-Lehmer testi de aynı matematikçinin çalışmalarına dayanır. Lise ve üniversite düzeyinde dizi ve tümevarım örneklerinde, matematik olimpiyatı sorularında sıkça karşına çıkar.

Karıştırılmaması gereken

"Lucas dizileri" terimi bazen daha genel bir aileyi, yani farklı parametrelerle tanımlanan U ve V dizilerini de kapsar. Burada anlatılan, bu ailenin en bilinen üyesidir.

İstediğin sıradaki terimi Lucas sayıları hesaplama aracında bulabilir, aynı n için Fibonacci sayısını yan yana görerek özdeşlikleri kendin deneyebilirsin.