Türev
Kısa tanım
Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır; geometrik olarak fonksiyon grafiğine o noktada çizilen teğetin eğimini verir.
Diğer adları: Anlık değişim oranı, Diferansiyel
Arabanın hız göstergesi o anki hızını gösterir; bu değer, alınan yolun zamana göre türevidir. Matematikte türev, girdideki çok küçük bir değişimin çıktıyı ne kadar değiştirdiğini ölçer.
Tanım
Bir f fonksiyonunun x noktasındaki türevi limit ile tanımlanır: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) − f(x)] / h. Bu limit varsa fonksiyon o noktada türevlenebilirdir. Grafikte bu değer, eğriye o noktada değen teğet doğrunun eğimidir.
Temel kurallar
- Kuvvet kuralı:
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ - Toplam kuralı:
(f+g)' = f' + g' - Çarpım kuralı:
(f·g)' = f'·g + f·g' - Zincir kuralı:
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) - Özel fonksiyonlar:
(sin x)' = cos x,(eˣ)' = eˣ,(ln x)' = 1/x
Rakamlı örnek
f(x) = 3x² + 2x − 5 olsun. Kuvvet ve toplam kurallarıyla f'(x) = 6x + 2 bulunur. x = 1 noktasında türev 6 + 2 = 8'dir; yani bu noktada x bir birim artarsa f yaklaşık 8 birim artar. f'(x) = 0 denklemi x = −1/3 verir; bu nokta parabolün tepe noktasıdır. Adım adım çözümü türev hesaplama aracında görebilirsin.
Nerede kullanılır?
Lise müfredatında ve YKS'de türev; artan-azalan aralıklar, maksimum-minimum problemleri ve teğet denklemi sorularıyla karşına çıkar. Fizikte hız ve ivme, ekonomide marjinal maliyet ve marjinal gelir türev kavramına dayanır. Fonksiyonları polinomla yaklaşık ifade eden Taylor serisi de art arda alınan türevlerden kurulur.
İntegralden farkı
Türev değişim hızını, integral ise birikimi (eğri altındaki alanı) verir. Analizin temel teoremi bu iki işlemin birbirinin tersi olduğunu söyler.