Polinom

Okulda karşına çıkan 3x² − 5x + 2 gibi ifadelerin genel adı polinomdur. Türkçede "çok terimli" diye de geçer. Her terim bir katsayı ile değişkenin negatif olmayan tam sayı kuvvetinin çarpımıdır; değişkenin paydada, kök içinde ya da negatif üste bulunduğu ifadeler polinom sayılmaz.

Temel kavramlar

• Derece: En yüksek kuvvet. 2x³ − 3x + 5 üçüncü derecedendir.
• Baş katsayı: En yüksek dereceli terimin katsayısı (burada 2).
• Sabit terim: Değişken içermeyen terim (burada 5); aynı zamanda P(0) değeridir.
• Katsayılar toplamı: P(1) ile bulunur.

Değer hesaplama ve kalan teoremi

P(x) = 2x³ − 3x + 5 için P(2) = 16 − 6 + 5 = 15'tir. Kalan teoremine göre bir polinomun (x − a) ile bölümünden kalan P(a)'dır; yani bu polinom (x − 2)'ye bölündüğünde kalan 15 olur. Kalan sıfırsa a bir köktür ve (x − a) polinomun çarpanıdır. Bu ilke, yüksek dereceli denklemlerde kök aramanın en hızlı yoludur.

İşlemler

Toplama ve çıkarmada aynı dereceli terimlerin katsayıları birleştirilir. Çarpmada dereceler toplanır: ikinci dereceden bir polinom ile üçüncü dereceden bir polinomun çarpımı beşinci derecedendir. Bölme işlemi uzun bölme ya da Horner yöntemiyle yapılır. Bu işlemleri adım adım görmek için polinom hesaplama aracını kullanabilirsin.

Kökler ve grafik

n. dereceden bir polinomun karmaşık sayılar dahil tam n kökü vardır (cebirin temel teoremi); gerçek kök sayısı ise n'den az olabilir. İkinci dereceden polinomların kökleri diskriminantla bulunur; üçüncü dereceden olanlar için üçüncü derece denklem çözücü işini görür. Polinomların grafikleri kesintisiz ve kırıksız eğrilerdir; bu yüzden fizikte, ekonomide ve bilgisayar grafiklerinde karmaşık eğrileri yaklaşık modellemek için sıkça kullanılır. Türevleri de kolay alınır: xⁿ teriminin türevi n·xⁿ⁻¹'dir.