Gamma fonksiyonu

5! = 120 olduğunu biliyorsun; peki 2,5! neye eşit? Faktöriyel tanımı yalnızca doğal sayılar için anlamlıdır. Leonhard Euler'in tanımladığı gamma fonksiyonu bu boşluğu doldurur ve faktöriyeli kesirli sayılara pürüzsüz biçimde genişletir.

Tanım

Pozitif gerçek kısımlı z için integral tanımı şöyledir:

Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z − 1) e^(−t) dt

Fonksiyonun temel özelliği Γ(z + 1) = z × Γ(z) eşitliğidir. Γ(1) = 1 olduğundan pozitif tam sayılarda Γ(n) = (n − 1)! sonucu çıkar.

Bilinen değerler

• Γ(5) = 4! = 24
• Γ(1/2) = √π ≈ 1,7725
• Γ(3/2) = (1/2) × √π ≈ 0,8862
• Γ(7/2) = (5/2) × (3/2) × (1/2) × √π ≈ 3,3234

Buradan 2,5! = Γ(3,5) ≈ 3,3234 olduğunu görürsün. Herhangi bir değer için sonucu gamma fonksiyonu hesaplama aracında bulabilirsin; tam sayı girdilerde sonucu faktöriyel hesabıyla karşılaştırmak iyi bir sağlamadır.

Tanımsız olduğu yerler

Gamma fonksiyonu 0, −1, −2, … noktalarında tanımsızdır; bu noktalarda kutupları vardır ve değer sonsuza gider. Negatif kesirli sayılarda ise Γ(z) = Γ(z + 1) / z bağıntısıyla hesaplanabilir: Γ(−1/2) = −2√π ≈ −3,5449.

Nerede karşına çıkar?

• İstatistikte gamma, beta, ki-kare ve Student t dağılımlarının formüllerinde,
• Fizikte küre hacminin n boyuta genellenmesinde,
• Mühendislikte kesirli türev ve integral hesaplarında.

Büyük değerlerde Γ(n) çok hızlı büyüdüğü için yaklaşık hesaplarda Stirling formülü kullanılır.