Parabol
Kısa tanım
Parabol, y = ax² + bx + c biçimindeki ikinci dereceden fonksiyonun grafiğidir; U ya da ters U şeklinde olup en uç noktasına tepe noktası denir.
Diğer adları: İkinci dereceden fonksiyon grafiği
Havaya atılan bir topun izlediği yol, bir çanak antenin kesiti ya da bir köprünün kemeri: hepsi aynı eğriye benzer. Matematikte bu eğri parabol adını alır ve en çok y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiği olarak karşına çıkar.
Şeklini belirleyen katsayılar
- a > 0 ise kollar yukarı açılır ve tepe noktası en küçük değeri verir.
- a < 0 ise kollar aşağı bakar, tepe noktası en büyük değerdir.
- |a| büyüdükçe parabol daralır, küçüldükçe genişler.
- c, grafiğin y eksenini kestiği noktadır.
Tepe noktası ve kökler
Tepe noktasının apsisi r = −b / (2a) ile bulunur; ordinatı ise bu değeri fonksiyonda yerine koyarak hesaplanır. Simetri ekseni de x = r doğrusudur. Parabolün x eksenini kesip kesmediğini diskriminant söyler: Δ = b² − 4ac. Δ pozitifse iki kök, sıfırsa tek (çakışık) kök vardır, negatifse grafik x eksenine hiç değmez.
Çözümlü örnek
y = 2x² − 8x + 3 için tepe noktası apsisi −(−8) / (2 × 2) = 2'dir. y değeri 2 × 4 − 16 + 3 = −5 olur, yani tepe noktası (2, −5). Diskriminant 64 − 24 = 40 olduğundan parabol x eksenini iki noktada keser. Bu hesabı parabol tepe noktası aracı ile, kökleri de ikinci derece denklem çözücü ile bulabilirsin.
Gerçek hayattaki yeri
Hava direnci ihmal edildiğinde eğik atılan cismin yörüngesi paraboldür; en yüksek noktası tepe noktasına karşılık gelir. Ekonomide maliyet ya da kâr fonksiyonunun ikinci dereceden modellendiği durumlarda en uygun üretim miktarı da tepe noktasından okunur. Uydu çanakları ve araba farları ise parabolün odak özelliğinden yararlanır: eksene paralel gelen ışınlar tek bir odakta toplanır.