Üçüncü derece denklem
Kısa tanım
En yüksek dereceli terimi x³ olan ax³ + bx² + cx + d = 0 biçimindeki polinom denklemdir; en az bir reel kökü vardır.
Diğer adları: Kübik denklem
İkinci derece denklemin kök formülünü okulda öğreniriz. Üçüncü derece denklemin de bir formülü vardır ama çok daha uzundur; 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler Tartaglia ve Cardano'nun adıyla anılır. Günlük çözümlerde çoğu zaman daha pratik yollar tercih edilir.
Kök sayısı
Reel katsayılı her kübik denklemin en az bir reel kökü vardır, çünkü x³ terimi grafiği bir uçta eksi, diğer uçta artı sonsuza götürür ve grafik x eksenini mutlaka keser. Toplamda üç kök vardır: ya üçü de reeldir ya da bir reel ve iki karmaşık eşlenik kök bulunur. Hangisinin geçerli olduğunu diskriminant söyler.
Pratik çözüm yolu
Önce rasyonel kök denenir: katsayılar tam sayıysa olası rasyonel kökler, sabit terimin bölenlerinin baş katsayının bölenlerine oranlarıdır. Bir kök bulunduğunda polinom bölmesiyle denklem ikinci dereceye indirilir.
Örnek: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. Sabit terim −6 olduğundan ±1, ±2, ±3, ±6 denenir. x = 1 yerine konduğunda 1 − 6 + 11 − 6 = 0 olur. Bölme sonrası x² − 5x + 6 = 0 kalır ve kökleri 2 ve 3'tür. Denklemin kökleri 1, 2, 3'tür. Kalan ikinci derece kısmı ikinci derece denklem çözücüyle çözebilirsin.
Cardano formülü
Rasyonel kök yoksa denklem x yerine t − b/(3a) konarak t³ + pt + q = 0 biçimine indirgenir ve kök, iki küpkök toplamı olarak yazılır. Üç reel kök bulunan durumda formül karmaşık sayılar üzerinden geçer, bu yüzden trigonometrik çözüm daha kullanışlıdır. Tüm durumları sayısal olarak üçüncü derece denklem çözücüyle bulabilirsin; polinomlarla genel işlemler için polinom hesaplaması da kullanışlıdır.
Kübik denklemler hacim problemlerinde (kenarı bilinmeyen kutu), gaz hal denklemlerinde ve ekonomik maliyet fonksiyonlarında sık çıkar.