Newton yöntemi
Kısa tanım
Bir fonksiyonun kökünü, başlangıç tahmininden itibaren teğet doğrularını kullanarak her adımda daha iyi bir yaklaşık değer üreten sayısal yöntemdir.
Diğer adları: Newton-Raphson yöntemi
Hesap makinesi olmadan √2'yi birkaç adımda dört basamak doğrulukla bulmak mümkün. Bunun en bilinen yolu Newton yöntemidir: fonksiyonun grafiğine tahmin noktasında teğet çizilir ve teğetin x eksenini kestiği yer yeni tahmin olur.
İterasyon formülü
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ)
Formül, fonksiyonun tahmin noktasındaki değerini ve türevini kullanır. Türev büyükse adım küçük, türev küçükse adım büyük olur.
√2 örneği
√2, f(x) = x² − 2 fonksiyonunun pozitif köküdür; türev f′(x) = 2x'tir. Başlangıç değeri x₀ = 1 alınsın:
- x₁ = 1 − (1 − 2) / 2 = 1,5
- x₂ = 1,5 − (2,25 − 2) / 3 = 1,416667
- x₃ = 1,416667 − 0,006944 / 2,833333 = 1,414216
Gerçek değer 1,414214'tür. Üç adımda beş basamak doğruluğa ulaşıldı; kök yakınında her adımda doğru basamak sayısı kabaca ikiye katlanır. Bu özelliğe ikinci dereceden yakınsama denir. Kendi fonksiyonunla denemek için Newton yöntemiyle kök bulma aracını kullanabilirsin.
Ne zaman sorun çıkar?
- Türevin sıfıra yakın olduğu noktalarda adım çok büyür ve tahmin kökten uzaklaşabilir.
- Kötü seçilmiş başlangıç değeri, döngüye girmeye ya da başka bir köke gitmeye yol açabilir.
- Katlı köklerde yakınsama yavaşlar.
Bu durumlarda önce grafiğe bakıp kökün yaklaşık yerini görmek, ardından Newton yöntemine geçmek güvenli bir yoldur. Bilgisayarlarda karekök, iç verim oranı gibi kapalı formülü olmayan değerler ve pek çok mühendislik denklemi bu yöntemin türevleriyle çözülür. Polinom kökleri için üçüncü derece denklem çözücü gibi kapalı çözümler de alternatif olabilir.