Gauss eliminasyonu
Kısa tanım
Doğrusal denklem sistemini, satır işlemleriyle üst üçgen biçime getirip geriye doğru yerine koyarak çözen yöntem.
Diğer adları: Gauss yok etme yöntemi, Satır indirgeme
İki ya da daha fazla bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini sistematik biçimde çözmenin en yaygın yolu Gauss eliminasyonudur. Yöntem, denklemlerin katsayılarını bir matriste toplayıp bilinmeyenleri adım adım yok etmeye dayanır.
İzin verilen satır işlemleri
- İki satırın yerini değiştirmek,
- Bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,
- Bir satırın katını başka bir satıra eklemek.
Bu işlemler sistemin çözümünü değiştirmez.
Adım adım örnek
Sistem: 2x + y = 5 ve x − y = 1.
Genişletilmiş matris [2 1 | 5] ve [1 −1 | 1] olur. İkinci satırdan birinci satırın yarısını çıkar: [0 −1,5 | −1,5]. Matris artık üst üçgen biçimdedir. Son satırdan −1,5y = −1,5, yani y = 1. Bunu ilk denklemde yerine koy: 2x + 1 = 5, x = 2. Bu son aşamaya geriye doğru yerine koyma denir. Daha büyük sistemleri Gauss eliminasyonu aracında her adımı görerek çözebilirsin.
Sonuçların yorumu
- Her bilinmeyen için bir pivot varsa tek çözüm bulunur.
- 0 = 5 gibi çelişkili bir satır çıkarsa sistemin çözümü yoktur.
- Tamamen sıfır satırlar oluşur ve pivot sayısı bilinmeyen sayısından azsa sonsuz çözüm vardır.
Gauss-Jordan farkı
Gauss-Jordan yönteminde işlem üst üçgende bırakılmaz; matris birim matrise kadar indirgenir ve çözüm doğrudan okunur. Aynı yaklaşım ters matris bulmakta ve matris rankını belirlemekte de kullanılır; rank ve LU ayrışımı için matris rankı ve LU ayrışımı aracı faydalıdır.
Sayısal dikkat
Bilgisayarla çözerken çok küçük pivotlar yuvarlama hatalarını büyütür. Bunu önlemek için her adımda mutlak değeri en büyük elemanı pivot seçmek (kısmi pivotlama) yaygın bir uygulamadır.