İkinci dereceden denklem

Okul matematiğinin en çok kullanılan araçlarından biri ikinci dereceden denklemdir: ax² + bx + c = 0 ve a ≠ 0. Fırlatılan bir topun yörüngesinden bir dikdörtgenin kenar uzunluklarına kadar pek çok problem bu biçime dönüşür.

Diskriminant ve kök formülü

Önce diskriminant hesaplanır: Δ = b² − 4ac.

• Δ > 0 ise iki farklı reel kök vardır.
• Δ = 0 ise iki kök çakışır (çift kök).
• Δ < 0 ise reel kök yoktur; kökler karmaşık sayıdır.

Kökler: x = (−b ± √Δ) / (2a)

Çözümlü örnek

x² − 5x + 6 = 0 denkleminde a = 1, b = −5, c = 6. Δ = 25 − 24 = 1. Kökler (5 ± 1) / 2, yani x = 3 ve x = 2. Aynı denklem çarpanlara ayrılarak da çözülebilir: (x − 2)(x − 3) = 0. Katsayılarını girip sonucu ikinci derece denklem çözücüde doğrulayabilirsin.

Vieta bağıntıları

Kökleri bulmadan toplamlarını ve çarpımlarını bilmek mümkündür: x₁ + x₂ = −b/a ve x₁ · x₂ = c/a. Yukarıdaki örnekte toplam 5, çarpım 6'dır. Sınav sorularında bu kısayol çok zaman kazandırır.

Parabolle bağlantısı

y = ax² + bx + c bir paraboldür. Denklemin kökleri, parabolün x eksenini kestiği noktalardır. Tepe noktasının apsisi −b/(2a) ile bulunur; a pozitifse parabol yukarı açılır ve tepe noktası en küçük değerdir. Grafiği görmek için fonksiyon grafiği aracında çizdirebilirsin.

Dikkat

• Denklemi önce sıfıra eşitlenmiş standart biçime getirmeden katsayı okumak hataya yol açar.
• b negatifse −b pozitif olur; işaret hatası en sık yapılan yanlıştır.
• Gerçek hayat problemlerinde negatif uzunluk ya da süre gibi anlamsız kökler elenmelidir.