Lineer cebir

"2x + y = 5 ve x − y = 1 ise x ve y kaçtır?" sorusu lineer cebirin en küçük örneğidir. Bilinmeyen sayısı onlar, binler hatta milyonlarla ifade edildiğinde aynı mantığı düzenli biçimde ele alan dal lineer cebir (doğrusal cebir) olarak adlandırılır.

Temel kavramlar

• Vektör: Yönü ve büyüklüğü olan, sayı dizisiyle gösterilen nesne.
• Matris: Sayıların satır ve sütunlar halinde dizildiği tablo; doğrusal dönüşümleri temsil eder.
• Determinant: Kare matrisin tersinir olup olmadığını gösteren tek sayı.
• Özdeğer ve özvektör: Bir dönüşümün yönünü değiştirmeden yalnızca ölçeklediği vektörler ve bu ölçek katsayıları.

Matris diliyle denklem çözümü

Yukarıdaki sistem A·x = b biçiminde yazılır: A = [[2, 1], [1, −1]], b = [5, 1]. det(A) = 2·(−1) − 1·1 = −3 sıfırdan farklı olduğu için tek çözüm vardır. Denklemleri topladığında 3x = 6, yani x = 2; yerine koyunca y = 1 bulunur. Büyük sistemlerde aynı iş Gauss eliminasyonu, LU ayrışımı veya ters matrisle yapılır.

Nerede kullanılır?

Bilgisayar grafiklerinde nesneleri döndürmek ve ölçeklemek matris çarpımıdır. Makine öğrenmesinde veriler vektör, model parametreleri matris olarak tutulur. Ekonomide sektörler arası girdi-çıktı analizi, mühendislikte yapı ve devre analizleri, istatistikte regresyon hesapları lineer cebire dayanır. Türkiye'de mühendislik ve fen fakültelerinin birinci sınıf derslerinden biridir.

Sık yapılan hatalar

Matris çarpımı değişmeli değildir: A·B ile B·A genellikle farklıdır. Ayrıca her matrisin tersi yoktur; determinantı sıfır olan matris tekildir ve bu durumda sistemin ya hiç çözümü ya da sonsuz çözümü vardır.

Matris işlemlerini matris hesaplama aracında, denklem takımlarını denklem sistemi çözücüsünde deneyebilir, özdeğerleri özdeğer hesaplayıcısıyla bulabilirsin.