Bayes teoremi

Nadir görülen bir hastalık için yapılan ve %99 doğru olduğu söylenen testin sonucu pozitif çıktı. Hasta olma ihtimalin kaçtır? Çoğu insan %99 der; doğru cevap çoğu zaman çok daha düşüktür. Bu sezgi yanılgısını düzelten araç Bayes teoremidir.

Formül

P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)

• P(A): Önsel olasılık; kanıttan önceki inanç.
• P(B | A): Olabilirlik; A doğruysa B'nin gözlenme ihtimali.
• P(B): Kanıtın toplam olasılığı.
• P(A | B): Sonsal olasılık; kanıt sonrası güncellenmiş olasılık.

Test örneği

Bir hastalık toplumun %1'inde görülsün. Test hastaların %99'unu yakalıyor (duyarlılık), ama sağlam kişilerin %5'inde yanlış pozitif veriyor. Pozitif sonuç alma olasılığı: 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594. Pozitif sonuç alan birinin gerçekten hasta olma olasılığı 0,0099 / 0,0594 ≈ %16,7 olur.

Sonuç şaşırtıcıdır, çünkü hastalık nadir olduğunda yanlış pozitiflerin sayısı gerçek pozitifleri geçer. Bu nedenle tarama testlerinden sonra doğrulama testi yapılır. Kendi oranlarınla deneme yapmak için Bayes teoremi hesaplama aracını kullanabilirsin.

Nerelerde kullanılır?

• Tıbbi tanı testlerinin yorumlanması.
• E-posta istenmeyen ileti filtreleri (naif Bayes sınıflandırıcıları).
• Makine öğrenmesi, risk analizi ve A/B testlerinin Bayesçi yorumu.
• Hukukta delillerin değerlendirilmesi ve arama-kurtarma planlaması.

Sık karıştırılan nokta

P(A | B) ile P(B | A) aynı şey değildir. "Hastaysan testin pozitif çıkma ihtimali" ile "test pozitifse hasta olma ihtimali" farklı sorulardır; ikisini karıştırmaya taban oranı yanılgısı denir. Temel olasılık kavramlarını tazelemek için olasılık hesaplama sayfası da işine yarar.