Negatif binom dağılımı
Kısa tanım
Başarı olasılığı sabit bağımsız denemelerde, belirli sayıda başarıya ulaşmak için gereken deneme ya da başarısızlık sayısının dağılımını veren kesikli olasılık dağılımıdır.
Diğer adları: Pascal dağılımı
Bir satış temsilcisi her aramada %30 olasılıkla randevu alıyor olsun. "İkinci randevuyu tam beşinci aramada alma olasılığı nedir?" sorusunun cevabını negatif binom dağılımı verir.
Binom dağılımından farkı
Binom dağılımında deneme sayısı sabittir ve başarı sayısı rastgeledir: "10 atışta kaç isabet olur?" Negatif binomda ise hedeflenen başarı sayısı sabittir, gereken deneme sayısı rastgeledir: "3 isabet için kaç atış gerekir?" Hedef tek başarı olduğunda dağılım geometrik dağılıma dönüşür.
Formül
r'inci başarının tam k'ıncı denemede gelme olasılığı:
P(X = k) = C(k − 1, r − 1) × pʳ × (1 − p)ᵏ⁻ʳ
Mantığı şudur: son deneme mutlaka başarıdır; önceki k − 1 denemeye kalan r − 1 başarı herhangi bir sırayla dağılabilir.
Örnek
p = 0,3, r = 2, k = 5 için: C(4, 1) = 4; 0,3² = 0,09; 0,7³ = 0,343. Olasılık 4 × 0,09 × 0,343 = 0,1235, yani yaklaşık %12,35'tir. Beklenen deneme sayısı r / p = 2 / 0,3 ≈ 6,67'dir. Farklı parametrelerle negatif binom dağılımı hesaplama aracında deneme yapabilirsin.
Nerelerde kullanılır?
- Kalite kontrolde belirli sayıda kusurlu ürün bulunana kadar incelenen parça sayısı.
- Sigortacılıkta ve epidemiyolojide, varyansı ortalamasından büyük olan sayım verilerinin modellenmesi. Bu durumda Poisson dağılımı yetersiz kalır ve negatif binom tercih edilir.
- Oyunlarda ve satışta "kaç denemede hedefe ulaşırım" türü planlamalar.
Dikkat: Bazı kaynaklar rastgele değişkeni toplam deneme sayısı, bazıları ise başarısızlık sayısı olarak tanımlar. İki tanım arasında k − r kadar kayma vardır; formül kullanmadan önce hangisinin kastedildiğini kontrol et.