Poisson dağılımı
Kısa tanım
Poisson dağılımı, belirli bir zaman ya da alan aralığında bağımsız ve sabit ortalama hızla gerçekleşen olayların kaç kez görüleceğinin olasılığını veren kesikli dağılımdır.
Diğer adları: Poisson olasılık dağılımı
Bir çağrı merkezine saatte ortalama 3 çağrı geliyorsa, önümüzdeki saatte hiç çağrı gelmeme olasılığı nedir? Bir kitap sayfasında kaç yazım hatası çıkar, bir kavşakta haftada kaç kaza olur? Bu tür "belirli aralıktaki olay sayısı" sorularının standart modeli Poisson dağılımıdır.
Formül
P(X = k) = (λk × e−λ) / k!
λ, aralık başına ortalama olay sayısı; k, olasılığı sorulan olay sayısı; e ≈ 2,71828'dir. Dağılımın ortalaması da varyansı da λ'ya eşittir; bu, Poisson'u tanımanın pratik bir ipucudur.
Çözümlü örnek
λ = 3 çağrı/saat için:
- P(X = 0) = e⁻³ ≈ 0,0498 (yaklaşık %5)
- P(X = 2) = (9 / 2) × e⁻³ ≈ 0,2240
- P(X = 3) = (27 / 6) × e⁻³ ≈ 0,2240
"En az bir çağrı" olasılığı ise 1 − 0,0498 ≈ 0,95'tir. Farklı λ ve k değerleri için Poisson dağılımı aracını kullanabilirsin.
Ne zaman uygundur?
- Olaylar birbirinden bağımsız gerçekleşiyor olmalı.
- Ortalama hız aralık boyunca sabit kalmalı.
- Aynı anda iki olayın gerçekleşmesi pratikte imkânsız olmalı.
Sabahları yoğunlaşan çağrılar gibi hızın değiştiği durumlarda zaman dilimlerini ayırarak hesap yapmak gerekir.
Binom ile ilişkisi
Deneme sayısı n çok büyük, başarı olasılığı p çok küçük olduğunda binom dağılımı, λ = n × p alınarak Poisson ile iyi yaklaşık hesaplanır. Örneğin 10.000 üründen her birinin %0,02 olasılıkla kusurlu olduğu bir üretimde kusurlu sayısı λ = 2 olan Poisson'a çok yakındır. Çağrı merkezlerinde personel planlaması yapan Erlang C modeli de gelen çağrıların Poisson sürecine uyduğunu varsayar.