Hipergeometrik dağılım

20 parçalık bir kutuda 5 hatalı parça var ve kontrol için rastgele 4 parça çekiyorsun. Çektiğin parçayı kutuya geri koymadığın için her çekişte olasılıklar biraz değişir. Bu durumu tam olarak modelleyen dağılım hipergeometrik dağılımdır.

Formül

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)

• N: kitle büyüklüğü,
• K: kitlede aranan özelliği taşıyan birim sayısı,
• n: çekilen örneklem büyüklüğü,
• k: örneklemde istenen başarı sayısı,
• C(a, b): a elemandan b'li kombinasyon sayısı.

Örnek

N = 20, K = 5, n = 4 ve tam bir hatalı parça (k = 1) çekme olasılığı:

C(5, 1) = 5, C(15, 3) = 455, C(20, 4) = 4.845. Olasılık 5 × 455 / 4.845 = 2.275 / 4.845 ≈ 0,470. Hiç hatalı çekmeme olasılığı ise C(15, 4) / C(20, 4) = 1.365 / 4.845 ≈ 0,282'dir. Farklı parametreleri hipergeometrik dağılım hesaplama aracında deneyebilirsin.

Beklenen değer

E(X) = n × K / N. Örnekte 4 × 5 / 20 = 1 hatalı parça beklenir. Varyans binom dağılımındakinden küçüktür, çünkü iadesiz çekiliş belirsizliği azaltır.

Binom dağılımından farkı

Binom dağılımı her denemede olasılığın sabit kaldığını varsayar; bu, çekilen birimin geri konduğu ya da kitlenin çok büyük olduğu durumlara uyar. Kitle küçük ve çekiliş iadesizse hipergeometrik kullanılmalıdır. Örneklem kitlenin yüzde 5'inden küçükse iki dağılım birbirine çok yakın sonuç verir.

Nerelerde kullanılır?

• Kalite kontrolde parti kabul örneklemesi,
• Piyango ve loto olasılıkları: 6/49 lotoda 6 sayının tamamını tutturmak bu dağılımla hesaplanır,
• Kart oyunlarında belirli kartların ele gelme ihtimali,
• Ekolojide yakala-işaretle-bırak yöntemiyle popülasyon tahmini.

Kombinasyon sayılarını ayrıca görmek istersen faktöriyel hesabı yardımcı olur.