Faktöriyel

Rafa dizeceğin 4 farklı kitabı kaç farklı sırayla yerleştirebilirsin? İlk yere 4 seçenek, ikinciye 3, üçüncüye 2, sonuncuya 1 seçenek kalır: 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Bu çarpımın kısa yazılışı 4!, okunuşu "dört faktöriyel"dir.

Tanım

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1

Tanım gereği 0! = 1 kabul edilir. Bu keyfi bir seçim değildir: hiç eleman yokken onları sıralamanın tek bir yolu vardır ve bu kabul, formüllerin tutarlı çalışmasını sağlar. Ayrıca n! = n × (n − 1)! özyinelemeli bağıntısı hesapları kolaylaştırır.

Ne kadar hızlı büyür?

• 5! = 120
• 10! = 3.628.800
• 20! yaklaşık 2,43 × 10¹⁸

Bir deste iskambil kâğıdının (52 kart) farklı dizilişlerinin sayısı olan 52!, yaklaşık 8 × 10⁶⁷'dir. Büyük sayıların faktöriyelini faktöriyel hesaplama aracında bulabilirsin.

Nerede kullanılır?

Faktöriyel, sayma problemlerinin yapı taşıdır:

• Permütasyon: n nesneden r tanesini sıralı seçme sayısı n! / (n − r)!. Örneğin 8 kişiden başkan, yardımcı ve sekreter seçmenin 8! / 5! = 336 yolu vardır.
• Kombinasyon: Sıra önemli değilse n! / (r! × (n − r)!). 8 kişiden 3 kişilik komisyon 56 farklı şekilde kurulur.

Bu hesapları kombinasyon aracıyla doğrudan yapabilirsin. Olasılık, binom dağılımı ve Taylor serileri de faktöriyele dayanır.

Dikkat

Faktöriyel yalnızca negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır. Kesirli sayılara genellemesi gama fonksiyonudur ve Γ(n) = (n − 1)! ilişkisi geçerlidir. Çok büyük n değerleri için Stirling yaklaşımı kullanılır.