Mutlak değer

Bir termometre önce −7 °C, sonra +7 °C gösteriyorsa iki değer sıfırdan aynı uzaklıktadır. Bu uzaklığı anlatan kavram mutlak değerdir: |−7| = |7| = 7.

Tanım

x ≥ 0 ise |x| = x, x < 0 ise |x| = −x'tir. İkinci durumda eksi işareti, negatif sayıyı pozitife çevirir. Bu yüzden mutlak değer ifadesinin sonucu sıfır ya da pozitiftir. İki sayı arasındaki uzaklık ise |a − b| ile bulunur: 3 ile −5 arasındaki uzaklık |3 − (−5)| = 8'dir.

Denklem ve eşitsizlikler

• |x − 3| = 2 denkleminin iki çözümü vardır: x = 5 ve x = 1.
• |x − 3| < 2 eşitsizliği, x'in 3'e uzaklığının 2'den az olduğunu söyler: 1 < x < 5.
• |x| = −4 gibi bir denklemin çözümü yoktur, çünkü mutlak değer negatif olamaz.

Önemli özellikler

Çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımıdır: |a·b| = |a|·|b|. Toplamda ise üçgen eşitsizliği geçerlidir: |a + b| ≤ |a| + |b|. Örneğin |3 + (−5)| = 2, ama |3| + |−5| = 8'dir.

Gündelik ve bilimsel kullanımı

Ölçüm hatalarında yön değil büyüklük önemliyse mutlak hata alınır: gerçek değer 50, ölçüm 48 ise mutlak hata |48 − 50| = 2'dir. İstatistikteki ortalama mutlak sapma, finansta tahmin hatalarının ölçümü ve bilgisayar programlarındaki abs() fonksiyonu aynı fikre dayanır. Karmaşık sayılarda mutlak değer (modül) sayının orijine uzaklığıdır: |3 + 4i| = 5.

Sık yapılan hata

|a − b| ifadesini |a| − |b| diye açmak yanlıştır. Ayrıca −|x| her zaman sıfır ya da negatiftir; işaretin mutlak değerin dışında olduğuna dikkat etmelisin.

Herhangi bir sayı ya da ifade için sonucu mutlak değer hesaplama aracında görebilir, ölçüm hatalarını yüzde hata hesaplayıcısıyla yorumlayabilirsin.