Collatz sanısı
Kısa tanım
Collatz sanısı, herhangi bir pozitif tam sayıdan başlayıp çiftse ikiye bölme, tekse üçle çarpıp bir ekleme kuralı uygulandığında dizinin her zaman 1'e ulaşacağını öne süren çözülmemiş problemdir.
Diğer adları: 3n + 1 problemi, Collatz problemi, Ulam problemi
Kuralı bir ilkokul öğrencisine anlatabilirsin, ama dünyanın en iyi matematikçileri seksen yılı aşkın süredir kanıtlayamıyor. 1937'de Lothar Collatz'ın ortaya attığı Collatz sanısı, matematiğin en ünlü açık problemlerinden biridir.
Kural
- Sayı çiftse ikiye böl:
n → n / 2 - Sayı tekse üçle çarpıp bir ekle:
n → 3n + 1 - Elde ettiğin sayıya aynı kuralı uygulamaya devam et.
Sanıya göre hangi pozitif tam sayıdan başlarsan başla, sonunda 1'e ulaşırsın ve ardından 4 → 2 → 1 döngüsüne girersin.
Örnek
6'dan başlayalım: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Dizi 8 adımda 1'e ulaşır ve en yüksek değer 16'dır. 27 ise çok daha şaşırtıcıdır: 111 adım sürer ve yol boyunca 9.232'ye kadar tırmanır. Bu inişli çıkışlı seyir yüzünden dizilere "dolu tanesi sayıları" da denir. İstediğin sayının dizisini Collatz dizisi hesaplama aracında adım adım görebilirsin.
Neden kanıtlanamıyor?
Tek sayılarda değer büyür, çift sayılarda küçülür; bu iki etkinin uzun vadede nasıl dengelendiğini genel olarak kontrol etmek çok zordur. Bilgisayarlarla çok büyük sayılara kadar her başlangıç değerinin 1'e ulaştığı doğrulanmıştır, ancak bu bir kanıt değildir. Terence Tao 2019'da "neredeyse tüm" sayıların çok küçük değerlere indiğini gösteren önemli bir sonuç yayımladı; tam kanıt hâlâ yoktur.
Neden ilgi çekici?
Collatz sanısı, basit kuralların ne kadar karmaşık davranışlar üretebileceğinin klasik örneğidir. Programlama eğitiminde döngü ve koşul alıştırması olarak, matematik eğitiminde ise sayılar teorisine giriş için sıkça kullanılır. Benzer biçimde sayıların özelliklerini keşfetmek istersen asal sayı kontrolü gibi araçlar da iyi bir başlangıçtır.