Üçgen eşitsizliği
Kısa tanım
Bir üçgende herhangi bir kenarın, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkının mutlak değerinden büyük olması gerektiğini söyleyen kuraldır.
Diğer adları: Üçgen eşitsizliği kuralı
Elinde 2, 3 ve 7 cm'lik üç çubuk olsun. Bunlarla bir üçgen kuramazsın: kısa iki çubuk uç uca eklense bile 5 cm eder ve 7 cm'lik kenarın iki ucuna ulaşamaz. Üçgen eşitsizliği tam olarak bu sezgiyi kurala bağlar.
Kural
a, b ve c bir üçgenin kenarları ise: |b − c| < a < b + c. Aynı şart diğer kenarlar için de geçerlidir. Pratik kontrol için en uzun kenarın diğer ikisinin toplamından küçük olup olmadığına bakman yeterlidir. Eşitlik durumu (a = b + c) üçgen değil, düz bir doğru parçası verir; buna dejenere üçgen denir.
Örnek 1: 4, 6, 9 → en uzun kenar 9 < 4 + 6 = 10 olduğundan üçgen olur. Örnek 2: Bir üçgenin iki kenarı 5 ve 8 cm ise üçüncü kenar 3 ile 13 cm arasında olmalıdır; tam sayı istenirse 4'ten 12'ye kadar 9 farklı değer alabilir. Bu tip sınav sorularında mutlak değer kullanılır; ifadeleri mutlak değer hesaplamasıyla kontrol edebilirsin.
Açı-kenar ilişkisi
Üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur. Kenarlar a > b > c ise açılar da A > B > C sıralanır. Ayrıca kosinüs teoremine göre a² ile b² + c² karşılaştırması açının dar, dik ya da geniş olduğunu söyler: a² > b² + c² ise A açısı geniştir. Üç kenarı verip açıları görmek için üçgen çözücüyü kullanabilirsin; kenarlar geçerliyse alanı da üçgen alan hesabı verir.
Geometrinin ötesinde
Eşitsizlik "iki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgidir" fikrinin bir sonucudur ve matematikte her uzaklık ölçüsünün sağlaması gereken temel özelliklerden biridir: |x + y| ≤ |x| + |y|. Navigasyonda bir duraktan geçen rotanın doğrudan rotadan kısa olamayacağını da bu kural söyler.