Geometrik dağılım

Zar atmaya başladın ve ilk 6'yı kaçıncı atışta göreceğini merak ediyorsun. Her atış birbirinden bağımsız ve her seferinde başarı olasılığı aynı olduğunda, ilk başarıya kadar geçen deneme sayısı geometrik dağılım izler.

Olasılık fonksiyonu

P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p, k = 1, 2, 3, …

Burada p her denemedeki başarı olasılığıdır. İlk k − 1 deneme başarısız, k'ıncı başarılı olmalıdır.

Zar örneği

p = 1/6. İlk 6'nın tam üçüncü atışta gelme olasılığı (5/6)² × 1/6 = 25/216 ≈ 0,116, yani yaklaşık yüzde 11,6'dır. İlk 6'nın en geç üçüncü atışta gelme olasılığı ise 1 − (5/6)³ ≈ 0,421 olur. Farklı p ve k değerlerini geometrik dağılım hesaplama aracıyla deneyebilirsin.

Beklenen değer ve varyans

• Beklenen deneme sayısı: E(X) = 1 / p. Zarda ortalama 6 atış.
• Varyans: Var(X) = (1 − p) / p². Zarda 30.

Hafızasızlık özelliği

Geometrik dağılımın en ilginç yanı geçmişi "unutmasıdır". On kez 6 gelmemiş olması, bir sonraki atışta 6 gelme olasılığını artırmaz; hâlâ 1/6'dır. Kumarbaz yanılgısı tam da bu noktanın gözden kaçırılmasından doğar.

Benzer dağılımlarla farkı

Binom dağılımı sabit sayıda denemedeki başarı sayısını sayar; geometrik dağılım ise ilk başarıya kadar geçen deneme sayısını. Örneklem çekilen kitle küçükse ve çekilen geri konmuyorsa olasılık her adımda değişir; o durumda hipergeometrik dağılım daha doğru sonuç verir.

Kullanım alanları

Kalite kontrolde ilk hatalı ürünün bulunması, satış görüşmelerinde ilk olumlu dönüş, ağ iletişiminde bir paketin ilk başarılı gönderimi gibi "ilk ne zaman?" sorularının hepsi bu dağılımla modellenebilir.