Determinant

Bir denklem sisteminin tek çözümü olup olmadığını, iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanını ya da bir matrisin tersinin bulunup bulunamayacağını tek bir sayı söyler: determinant. Yalnızca kare matrisler için tanımlıdır ve det(A) ya da |A| ile gösterilir.

2 × 2 matris

A = [[a, b], [c, d]] için det(A) = a·d − b·c

Örnek: [[3, 8], [4, 6]] matrisinin determinantı 3 × 6 − 8 × 4 = 18 − 32 = −14'tür.

3 × 3 matris

Sarrus kuralı ya da ilk satıra göre açılım kullanılır:

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

[[2, 0, 1], [1, 3, 2], [1, 1, 1]] için: 2 × (3 − 2) − 0 × (1 − 2) + 1 × (1 − 3) = 2 − 0 − 2 = 0. Determinant sıfır çıktığı için bu matrisin tersi yoktur; satırlar birbirinden bağımsız değildir.

Ne anlatır?

• det ≠ 0: matris tersinirdir; ilgili doğrusal denklem sisteminin tek çözümü vardır.
• det = 0: matris tekildir; sistemin ya hiç çözümü yoktur ya da sonsuz çözümü vardır.
• Geometrik anlam: |det|, dönüşümün alanı (2B) ya da hacmi (3B) kaç kat büyüttüğünü gösterir. Negatif işaret, yönelimin ters döndüğünü (ayna etkisi) anlatır.

Faydalı özellikler

• det(AB) = det(A) × det(B)
• Bir satır k ile çarpılırsa determinant da k ile çarpılır.
• İki satırın yeri değiştirilirse işaret değişir.
• Üçgen matrisin determinantı köşegen elemanlarının çarpımıdır.

Nerede kullanılır?

Cramer kuralıyla denklem sistemi çözümü, koordinatları bilinen üçgenin alanı, özdeğer hesabı ve bilgisayar grafiklerindeki dönüşümler determinanta dayanır.

Büyük matrisleri adım adım çözmek için determinant hesaplama aracını, denklem sistemleri için de denklem sistemi çözücüyü kullanabilirsin.