Aritmetik dizi
Kısa tanım
Aritmetik dizi, ardışık her iki terimi arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizisidir; bu sabit fark ortak fark (d) olarak adlandırılır.
Diğer adları: Aritmetik ilerleme, Doğrusal dizi
3, 7, 11, 15, 19… dizisine bakınca her adımda 4 eklendiğini hemen görürsün. Ardışık terimler arasındaki farkın hep aynı kaldığı bu tür dizilere aritmetik dizi denir. Taksit planları, kademeli zamlar ve basamak basamak artan antrenman programları gündelik örnekleridir.
Genel terim
aₙ = a₁ + (n − 1) × d
Yukarıdaki dizide a₁ = 3, d = 4 olduğundan 20. terim 3 + 19 × 4 = 79'dur. Ortak fark negatifse dizi azalır; d = 0 ise bütün terimler eşittir.
İlk n terimin toplamı
Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2
İlk 20 terimin toplamı 20 × (3 + 79) / 2 = 820'dir. Formülün arkasındaki fikir basittir: ilk ve son terim, ikinci ve sondan ikinci terim gibi eşleştirilen her çiftin toplamı aynıdır. Gauss'un okul yıllarında 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını 100 × 101 / 2 = 5050 olarak hızla bulduğu anlatılır.
Ortadaki terim kuralı
Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır. Örneğin a₅ = (a₃ + a₇) / 2. Sınav sorularında bilinmeyen terimleri bulmanın en hızlı yolu genellikle budur.
Geometrik diziden farkı
Aritmetik dizide sabit bir sayı eklenir, geometrik dizide sabit bir sayıyla çarpılır. Her yıl maaşına 2.000 TL eklenmesi aritmetik, her yıl yüzde 10 zam alması geometrik büyümedir; uzun vadede geometrik büyüme çok daha hızlıdır. Karşılaştırma için geometrik dizi aracına de göz atabilirsin.
Terim, toplam ve ortak farkı birlikte hesaplamak için aritmetik dizi hesaplayıcısını kullanabilirsin; eksik terimleri bulmak içinse sayı dizisi tamamlama aracı işe yarar.