Fibonacci dizisi

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Bu dizide her sayı, kendinden önceki iki sayının toplamıdır. İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202'de tavşan çoğalması problemiyle Avrupa'ya tanıttığı dizi, sade kuralına karşın matematikte ve doğada şaşırtıcı yerlerde karşına çıkar.

Tanım

F₀ = 0, F₁ = 1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂

Bazı kaynaklar diziyi 1, 1 ile başlatır; bu durumda indeksler bir kayar ama dizinin yapısı aynıdır.

Altın oranla ilişkisi

Ardışık iki Fibonacci sayısının oranı ilerledikçe altın orana (φ ≈ 1,6180) yaklaşır: 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 89/55 ≈ 1,6182. Bu ilişki Binet formülüne de yansır: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, burada ψ = 1 − φ ≈ −0,618. Bu formülle 10. terim doğrudan 55 olarak bulunur. İstediğin terime kadar diziyi Fibonacci hesaplama aracıyla üretebilirsin.

Nerede karşına çıkar?

• Ayçiçeği tohumlarının ve çam kozalaklarının sarmallarının sayısı çoğunlukla ardışık Fibonacci sayılarıdır.
• Bilgisayar biliminde özyineleme ve dinamik programlamanın klasik örneğidir.
• Borsada teknik analizde kullanılan düzeltme seviyeleri bu dizinin oranlarından türetilir.
• Çevik yazılım ekiplerinin iş tahmininde puanlama ölçeği olarak kullanılır.

İlginç özellikler

İlk n terimin toplamı, iki sonraki terimin bir eksiğine eşittir: F₁ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1. Örneğin 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 − 1. Her üçüncü Fibonacci sayısı çifttir.

Dikkat

Doğadaki her spirali Fibonacci'ye ya da altın orana bağlamak abartılı bir yaygın inançtır; pek çok örnek yalnızca yaklaşık uyum gösterir.