Çift faktöriyel
Kısa tanım
Çift faktöriyel (n!!), n'den başlayıp ikişer azalarak aynı tek-çift yapısındaki pozitif tam sayıların çarpımıdır; örneğin 7!! = 7 × 5 × 3 × 1.
Diğer adları: Yarı faktöriyel, n!!
Faktöriyelde n'den 1'e kadar bütün tam sayılar çarpılır. Çift faktöriyelde ise sayılar ikişer ikişer atlanır; bu yüzden yalnızca n ile aynı paritedeki (tek ya da çift) sayılar çarpıma girer. Gösterimi n!! şeklindedir ve "faktöriyelin faktöriyeli" anlamına gelmez; bu sık yapılan bir yanılgıdır.
Tanım
- n tek ise:
n!! = n × (n − 2) × … × 3 × 1 - n çift ise:
n!! = n × (n − 2) × … × 4 × 2 - Kabul:
0!! = 1ve(−1)!! = 1
Örnekler
- 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
- 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384
- 10!! = 3.840
Sağlama: 8! = 40.320 ve 8!! × 7!! = 384 × 105 = 40.320. Yani ardışık iki çift faktöriyelin çarpımı sıradan faktöriyeli verir: n! = n!! × (n − 1)!!.
Faydalı bağıntılar
- Çift sayılar için:
(2k)!! = 2ᵏ × k!. Örneğin 8!! = 2⁴ × 4! = 16 × 24 = 384. - Tek sayılar için:
(2k − 1)!! = (2k)! / (2ᵏ × k!).
Nerede kullanılır?
Çift faktöriyel, kombinatorikte 2k kişiyi ikili gruplara ayırmanın yollarını saymada karşına çıkar: bu sayı (2k − 1)!!'dir. 6 kişi 5!! = 15 farklı biçimde üç çifte ayrılabilir. Ayrıca normal dağılımın momentlerinde, bazı belirli integrallerde (Wallis formülleri) ve küre hacminin yüksek boyutlara genellenmesinde de bu çarpım görülür.
Dikkat
Değerler hızla büyür; 20!! bile 3,7 milyarı aşar. Elle hesaplarken ara sonuçları kontrol et ve hangi pariteyle başladığını unutma.
Büyük değerleri hızlıca bulmak için çift faktöriyel aracını, karşılaştırma yapmak için de faktöriyel hesaplamayı kullanabilirsin.