Zincir kuralı

Türev alırken fonksiyonlar her zaman yalın gelmez. (3x² + 1)⁵, sin(2x) ya da e^(x²) gibi ifadelerde bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon vardır. Bu iç içe geçmiş fonksiyonların türevi zincir kuralıyla alınır.

Kural

y = f(g(x)) ise y′ = f′(g(x)) × g′(x). Leibniz gösterimiyle u = g(x) dersek dy/dx = dy/du × du/dx. Sezgisel anlamı: dış fonksiyonun türevi alınır (iç kısma dokunmadan), sonra iç fonksiyonun türeviyle çarpılır.

Örnekler

• d/dx (3x² + 1)⁵ = 5(3x² + 1)⁴ × 6x = 30x(3x² + 1)⁴
• d/dx sin(2x) = cos(2x) × 2
• d/dx e^(x²) = e^(x²) × 2x
• d/dx √(1 + x³) = 3x² / (2√(1 + x³))

İlk örnekte x = 1 için türev 30 × 1 × 4⁴ = 7.680 olur. Sonuçlarını türev hesaplamasıyla kontrol edebilirsin. Üslü ifadelerin kuralları için üslü sayı hesaplamasına da göz atabilirsin.

Sık yapılan hata

En yaygın hata iç fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutmaktır: sin(2x)'in türevini cos(2x) yazmak. Birden fazla katman varsa kural her katmana sırayla uygulanır: sin³(4x) için 3sin²(4x) × cos(4x) × 4.

Neden önemli?

Zincir kuralı birbirine bağlı değişim hızlarını hesaplamanın yoludur. Bir balonun yarıçapı saniyede 2 cm artıyorsa hacmi saniyede ne kadar artar? V = (4/3)πr³ olduğundan dV/dt = 4πr² × dr/dt'dir. Yapay sinir ağlarını eğiten geri yayılım algoritması da katmanlar boyunca zincir kuralının tekrar tekrar uygulanmasıdır. Ters işlem olan integralde değişken değiştirme yöntemi zincir kuralının tersidir; integral hesaplamasında karşına çıkar.