Limit

x değeri 2'ye her adımda biraz daha yaklaştığında f(x) neye yaklaşıyor? Matematikte bu davranışı anlatan kavram limittir ve lim(x→a) f(x) = L biçiminde yazılır. Önemli olan fonksiyonun tam a noktasındaki değeri değil, a'ya yaklaşırken izlediği yoldur.

Basit bir örnek

f(x) = (x² − 4) / (x − 2) fonksiyonu x = 2'de tanımsızdır, çünkü payda sıfır olur. Ancak payı (x − 2)(x + 2) diye çarpanlarına ayırıp sadeleştirirsen ifade x + 2'ye dönüşür. x 2'ye yaklaştıkça sonuç 4'e yaklaşır, yani limit 4'tür. Fonksiyon o noktada tanımlı olmasa bile limit vardır.

Sağdan ve soldan limit

Bir noktada limitin var olması için soldan (x < a) ve sağdan (x > a) yaklaşıldığında aynı değere ulaşılması gerekir. Örneğin 1/x fonksiyonu 0'ın sağında +∞'a, solunda −∞'a gider; bu yüzden x → 0 için limiti yoktur.

Belirsiz durumlar

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ gibi sonuçlar belirsizlik olarak adlandırılır. Bunları çözmek için çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma ya da türev kullanan L'Hôpital kuralı uygulanır. Sonsuzdaki limitlerde ise en yüksek dereceli terimlerin katsayılarına bakmak çoğu zaman yeterlidir.

Nerede karşına çıkar?

Limit, lise 12. sınıf matematiğinin ve üniversite sınavının temel konularındandır. Türevin tanımı bile bir limittir: anlık değişim hızı, aralık sıfıra yaklaşırken ortalama değişimin limitidir. Sürekli faiz formülündeki e sayısı da (1 + 1/n)^n ifadesinin n sonsuza giderken limitidir.

Fizikteki limit hız kavramı adını buradan alsa da ayrı bir konudur; düşen cismin ulaşabileceği en yüksek hızı anlatır.

Kendi fonksiyonunu denemek için limit hesaplama aracını kullanabilirsin.