Merkezi limit teoremi
Kısa tanım
Yeterince büyük ve bağımsız örneklemlerden hesaplanan ortalamaların dağılımının, ana kütlenin dağılımı ne olursa olsun normal dağılıma yaklaştığını söyleyen teoremdir.
Diğer adları: Merkezi limit kuramı, MLT
Tek bir zar atışının sonucu 1'den 6'ya kadar eşit olasılıklıdır; dağılımı düzdür. Ama 30 zar atıp ortalamasını alır ve bunu binlerce kez tekrarlarsan, bu ortalamaların dağılımı çan eğrisine benzer: çoğu 3,5 civarında toplanır, uçlara gittikçe azalır. Merkezi limit teoremi bu gözlemi genelleştirir ve istatistiğin en güçlü sonuçlarından biridir.
Teorem ne söyler?
Ortalaması μ ve standart sapması σ olan herhangi bir ana kütleden bağımsız olarak n büyüklüğünde örneklemler çekildiğinde, örneklem ortalamaları yaklaşık olarak normal dağılır: ortalaması μ, standart sapması σ / √n olur. Bu standart sapmaya ortalamanın standart hatası denir.
Örnek: Tek zarın ortalaması 3,5, standart sapması yaklaşık 1,71'dir. 36 zarın ortalaması için standart hata 1,71 / 6 ≈ 0,285 olur. Ortalamaların yaklaşık %95'i 3,5 ± 2 × 0,285, yani 2,93 ile 4,07 arasında kalır. Standart hatayı standart hata hesaplamasıyla, normal dağılım olasılıklarını normal dağılım aracıyla bulabilirsin.
Ne kadar büyük örneklem?
Sık kullanılan pratik kural n ≥ 30'dur. Ana kütle simetrik ise daha küçük örneklemler bile yeterli olabilir; çok çarpık dağılımlarda (gelir dağılımı gibi) ise daha büyük örneklem gerekir.
Neden önemli?
Anketlerde, kalite kontrolde ve deneylerde ana kütlenin dağılımını bilmesek bile ortalama hakkında olasılık temelli sonuç çıkarabilmemizi sağlar. Güven aralıkları ve birçok hipotez testi bu teoreme dayanır; bir ortalama için aralığı güven aralığı hesaplamasında görebilirsin. Teoremin şartı gözlemlerin bağımsız olmasıdır; birbirini etkileyen veriler (örneğin aynı aileden seçilen kişiler) bu varsayımı bozar.