Binom dağılımı
Kısa tanım
Binom dağılımı, her biri yalnızca iki sonucu olan ve aynı başarı olasılığına sahip n bağımsız denemede tam olarak k başarı elde etme olasılığını veren dağılımdır.
Diğer adları: Binomiyal dağılım, İki terimli dağılım
Bir parayı 10 kez attığında tam 6 kez yazı gelme ihtimali nedir? Bir üretim hattında 20 üründen en fazla 1'inin kusurlu çıkma olasılığı ne kadardır? Bu tür "kaç tanesi başarılı olur" sorularının standart modeli binom dağılımıdır.
Koşulları
- Deneme sayısı (n) önceden bellidir.
- Her denemenin yalnızca iki sonucu vardır: başarı ya da başarısızlık.
- Başarı olasılığı (p) her denemede aynıdır.
- Denemeler birbirinden bağımsızdır.
Olasılık fonksiyonu
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)
C(n, k), n elemandan k tanesini seçme sayısıdır: n! / (k! × (n − k)!).
Örnek: 10 atışta tam 6 yazı için C(10, 6) = 210 ve 0,5^10 = 1/1.024 olduğundan olasılık 210 / 1.024 ≈ 0,205, yani yaklaşık %20,5'tir. Farklı n, p ve k değerleri için binom dağılımı hesaplama aracını kullanabilirsin; seçim sayısını ayrıca kombinasyon hesaplamasıyla bulabilirsin.
Ortalama ve varyans
Beklenen başarı sayısı n × p, varyans n × p × (1 − p) formülüyle bulunur. 10 atışlık örnekte beklenen yazı sayısı 5, standart sapma yaklaşık 1,58'dir.
Normal dağılıma yaklaşım
n büyük, p de 0 ya da 1'e çok yakın değilse (genel kural: n × p ve n × (1 − p) değerlerinin ikisi de 5'ten büyük) binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Bu sayede büyük örneklemlerde hesaplar basitleşir. p çok küçük ve n çok büyükse Poisson dağılımı daha iyi bir yaklaşımdır.
Nerede karşına çıkar?
Kalite kontrolde kusurlu ürün sayısı, anketlerde "evet" diyenlerin sayısı, çoktan seçmeli sınavda rastgele işaretlenen doğru cevap sayısı ve e-posta kampanyasında tıklayan kişi sayısı tipik binom örnekleridir.