İntegral

Bir aracın her andaki hızını biliyorsan, yol aldığı toplam mesafeyi nasıl bulursun? Hızı çok küçük zaman dilimleriyle çarpıp toplarsın. Bu sonsuz küçük parçaların toplamı integraldir. Leibniz'in uzatılmış S harfi (∫) de “toplam” anlamından gelir.

Belirsiz ve belirli integral

• Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonu veren fonksiyon ailesidir: ∫ 2x dx = x² + C. C keyfi bir sabittir, çünkü sabitin türevi sıfırdır.
• Belirli integral bir sayıdır: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Bu eşitliğe analizin temel teoremi denir.

Örnek

f(x) = x² eğrisinin 0 ile 2 arasında kalan alanını bulalım. Ters türev F(x) = x³/3'tür. Sonuç F(2) − F(0) = 8/3 ≈ 2,667 birim karedir. Eğri x ekseninin altına indiğinde integral o bölgeyi negatif sayar; toplam geometrik alan için mutlak değer almak gerekir. Bu tür soruları integral hesaplayıcısında adım adım kontrol edebilirsin.

Temel kurallar

• Kuvvet kuralı: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C
• Değişken değiştirme ve kısmi integrasyon, daha karmaşık ifadeler için kullanılan iki ana yöntemdir.

Sayısal integral

Her fonksiyonun kapalı biçimli ters türevi yoktur; örneğin e^(−x²) normal dağılımın temelidir ama ters türevi temel fonksiyonlarla yazılamaz. Böyle durumlarda yamuk ya da Simpson kuralı gibi sayısal yöntemlerle yaklaşık değer bulunur.

Nerede kullanılır?

Fizikte iş ve yer değiştirme, olasılıkta dağılım fonksiyonları, mühendislikte alan ve hacim, ekonomide tüketici rantı hesapları integrale dayanır. Türev ile birlikte düşünmek kavramı oturtur; bir fonksiyonun türevini almak için türev aracını kullanıp sonucu integralle geri dönerek doğrulayabilirsin.