Taylor serisi
Kısa tanım
Taylor serisi, türevlenebilir bir fonksiyonu bir nokta etrafında, o noktadaki türevlerinden kurulan sonsuz bir polinom toplamı olarak ifade eder.
Diğer adları: Taylor açılımı, Maclaurin serisi
Hesap makinesi sin(0,1) değerini nasıl bulur? Arka planda çoğu zaman fonksiyonu basit toplama ve çarpmalara indirgeyen bir yaklaşım kullanılır. Bunun en bilinen aracı Taylor serisidir.
Formül
f fonksiyonunun a noktası etrafındaki Taylor serisi: f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + f'''(a)(x−a)³/3! + …
a = 0 alındığında elde edilen özel duruma Maclaurin serisi denir. Seriyi belli bir terimde kesersen elde ettiğin polinoma Taylor polinomu denir; kesilen kısım ise hata (kalan) terimidir.
Bilinen açılımlar
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …(−1 < x ≤ 1 için)
Örnek
e^0,2 değerini ilk dört terimle yaklaşık bulalım: 1 + 0,2 + 0,04/2 + 0,008/6 = 1 + 0,2 + 0,02 + 0,001333 = 1,221333. Gerçek değer 1,221403'tür; dört terimle hata yalnızca 0,00007 civarındadır. x sıfırdan uzaklaştıkça aynı doğruluk için daha fazla terim gerekir. Farklı fonksiyon ve terim sayılarını Taylor serisi hesaplama aracında karşılaştırabilirsin.
Dikkat edilecek noktalar
Her fonksiyonun Taylor serisi her x için kendisine yakınsamaz; serinin geçerli olduğu aralığa yakınsaklık yarıçapı denir. Örneğin ln(1+x) açılımı yalnızca −1 ile 1 arasında işe yarar. Serinin terimlerini kurmak için gereken türevleri türev hesaplama aracıyla kontrol edebilirsin. Mühendislikte küçük açılar için sin θ ≈ θ yaklaşımı da birinci dereceden Taylor polinomunun pratik bir kullanımıdır.