Modüler aritmetik
Kısa tanım
Modüler aritmetik, sayıların belirli bir n değerine bölümünden kalanlarla işlem yapıldığı aritmetik sistemidir; a ≡ b (mod n) biçiminde yazılır.
Diğer adları: Mod aritmetiği, Saat aritmetiği, Denklik aritmetiği
Saat 10'da başlayan 5 saatlik bir iş saat 15'te biter, ama duvar saati 3'ü gösterir. Çünkü saat 12'ye ulaşınca başa döner. Bu "başa dönen" hesabın matematikteki adı modüler aritmetiktir: 10 + 5 = 15 ≡ 3 (mod 12).
Temel tanım
İki tam sayı n'ye bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa, bu sayılar n modülüne göre denktir: a ≡ b (mod n). Örneğin 17 ve 5, 12'ye bölündüğünde ikisi de 5 kalanını verir, dolayısıyla 17 ≡ 5 (mod 12). Toplama, çıkarma ve çarpmada önce işlem yapıp sonra kalanı almak ile önce kalanları alıp sonra işlem yapmak aynı sonucu verir.
Günlük örnek
Bugün salı ise 100 gün sonra hangi gün olur? 100'ü 7'ye böldüğünde kalan 2'dir. Salıdan iki gün sonrası perşembedir. Uzun takvim hesaplarını bu yolla birkaç saniyede yapabilirsin.
Modüler ters ve üs
- Modüler ters: a·x ≡ 1 (mod n) eşitliğini sağlayan x'tir. 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7) olduğundan 3'ün mod 7'deki tersi 5'tir. Ters yalnızca a ile n aralarında asalsa vardır.
- Modüler üs alma: Çok büyük üsler kalanlar üzerinden hızlıca hesaplanır. Örneğin 2¹⁰ = 1.024 ≡ 1 (mod 11).
Nerede kullanılır?
RSA gibi şifreleme yöntemleri büyük sayılarla modüler üs alma işlemine dayanır. Kimlik numaralarındaki kontrol haneleri, IBAN doğrulamasındaki mod 97 kontrolü ve ISBN numaraları da modüler hesaplarla hata yakalar. Bilgisayar programlarında % operatörü bu işlemi yapar.
Dikkat edilecek nokta
Negatif sayıların kalanı programlama dillerine göre farklı tanımlanabilir; matematikte kalan genellikle 0 ile n − 1 arasında alınır, yani −3 ≡ 4 (mod 7).
Kalan ve denklik hesapları için modüler aritmetik aracını, tersi bulmak için modüler ters hesaplayıcısını, büyük üsler için modüler üs alma aracını kullanabilirsin.