Özdeşlik

"x + 3 = 5" bir denklemdir; yalnızca x = 2 için doğrudur. "(x + 1)² = x² + 2x + 1" ise x yerine hangi sayıyı koyarsan koy doğru kalır. Bu tür eşitliklere özdeşlik denir ve bazı kaynaklarda "≡" işaretiyle yazılır.

Sık kullanılan cebirsel özdeşlikler

• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b)
• Tam kare: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
• Küp açılımı: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Bu kalıplar hem çarpanlara ayırmada hem zihinden hesapta işe yarar. Örnek: 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2.500 − 1 = 2.499. Çarpanlara ayırma adımlarını çarpanlara ayırma aracında görebilirsin.

Trigonometrik özdeşlikler

En temel olanı birim çemberden gelir: sin²x + cos²x = 1. Bunu cos²x'e bölünce tan²x + 1 = sec²x elde edilir. Toplam formülleri (sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b) ve iki kat açı formülleri (cos 2x = cos²x − sin²x) da özdeşliktir.

Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamanın pratik yolu, birkaç rastgele değerde iki tarafı karşılaştırmaktır. Tek bir değerde eşitlik bozuluyorsa ifade özdeşlik değildir; tüm denemelerde tutuyorsa özdeşlik olma ihtimali yüksektir ama kesin kanıt için cebirsel dönüşüm gerekir. Trigonometrik özdeşlik kontrolü ifadeyi çok sayıda açıda sınar; tek tek açı değerleri için trigonometri hesaplaması kullanılabilir.

İspat yaparken genellikle karmaşık taraftan başlanır ve bilinen özdeşlikler kullanılarak diğer tarafa ulaşılır; iki tarafa aynı anda işlem yapmak mantık hatasına yol açabilir.