Özdeğer
Kısa tanım
Bir kare matrisin bir vektörü yalnızca uzatıp kısalttığı, yönünü değiştirmediği durumda bu uzama katsayısına verilen addır.
Diğer adları: Karakteristik değer, Eigenvalue
Bir matrisle bir vektörü çarptığında genellikle hem yönü hem uzunluğu değişen yeni bir vektör elde edersin. Bazı özel vektörler ise yalnızca uzar ya da kısalır: A·v = λ·v. Bu vektörlere özvektör, λ katsayısına da özdeğer denir.
Nasıl bulunur?
Denklemi (A − λI)·v = 0 biçiminde yazarsan sıfırdan farklı bir v çözümünün olması için matrisin tersinin olmaması, yani det(A − λI) = 0 gerekir. Bu karakteristik denklemin kökleri özdeğerleri verir. Determinant işlemini determinant hesaplamasıyla kontrol edebilirsin.
Örnek: A = [[4, 1], [2, 3]] matrisi için det(A − λI) = (4 − λ)(3 − λ) − 2 = λ² − 7λ + 10 = 0. Kökler λ₁ = 5 ve λ₂ = 2'dir. λ = 5 için özvektör (1, 1) yönündedir: A·(1, 1) = (5, 5). Daha büyük matrisler için elle çözüm zahmetli olduğundan özdeğer hesaplama aracı sayısal yöntemle sonuç verir.
İşe yarayan iki pratik bilgi
- Özdeğerlerin toplamı matrisin köşegen toplamına (iz), çarpımı determinantına eşittir. Örnekte 5 + 2 = 4 + 3 ve 5 × 2 = 10.
- Simetrik matrislerin özdeğerleri her zaman reel sayıdır.
Özdeğerler mühendislikte titreşim modlarını ve yapıların doğal frekanslarını, kontrol sistemlerinde kararlılığı, istatistikte temel bileşenler analizinde verinin en çok değiştiği yönleri belirler. Google'ın ilk sayfa sıralama algoritması da büyük bir bağlantı matrisinin baskın özvektörüne dayanıyordu. Matrislerle işlem yapmak için matris hesaplama aracı da elinin altında olsun.