LU ayrışımı
Kısa tanım
LU ayrışımı, bir kare matrisi alt üçgen (L) ve üst üçgen (U) iki matrisin çarpımı olarak yazma yöntemidir: A = L · U.
Diğer adları: LU ayrıştırması, LU faktorizasyonu, LU dekompozisyonu
Aynı katsayı matrisine sahip ama sağ tarafı değişen onlarca denklem sistemini çözmen gerektiğini düşün. Her seferinde baştan Gauss eliminasyonu yapmak yerine matrisi bir kez parçalara ayırıp tekrar tekrar kullanabilirsin. Bu parçalama işleminin adı LU ayrışımıdır.
Ne yapar?
A matrisi, köşegeninin altında sıfır olmayan değerler bulunan bir L (lower, alt üçgen) ve köşegeninin altı tamamen sıfır olan bir U (upper, üst üçgen) matrisinin çarpımına dönüştürülür. Yaygın Doolittle yönteminde L'nin köşegen elemanları 1 alınır.
2×2 örnek
A = [[4, 3], [6, 3]] olsun. İlk satırın 1,5 katını ikinci satırdan çıkarınca ikinci satır [0, −1,5] olur. Böylece U = [[4, 3], [0, −1,5]] ve kullanılan çarpan L'ye yazılarak L = [[1, 0], [1,5, 1]] elde edilir. Kontrol: L · U'nun ikinci satırı 1,5 × 4 = 6 ve 1,5 × 3 − 1,5 = 3 verir, yani A'ya döner.
Neden işe yarar?
- Denklem çözümü: Ax = b yerine önce Ly = b ileri yerine koymayla, sonra Ux = y geri yerine koymayla çözülür. Üçgen sistemler çok hızlı çözülür.
- Determinant: det(A), U'nun köşegen elemanlarının çarpımıdır. Örnekte 4 × (−1,5) = −6, doğrudan hesap da 4·3 − 3·6 = −6 verir.
- Ters matris: Birim matrisin her sütunu için aynı L ve U kullanılarak bulunur.
Dikkat edilecek noktalar
Köşegende sıfır ya da çok küçük bir pivot çıkarsa yöntem tıkanır veya sayısal hata büyür. Bu durumda satırlar yer değiştirilir ve ayrışım PA = LU biçiminde yazılır; P bir permütasyon matrisidir. Mühendislik yazılımları ve sayısal analiz kütüphaneleri büyük sistemlerde bu kısmi pivotlamalı sürümü kullanır.
Lineer cebir derslerinde Gauss eliminasyonunun matris diliyle ifadesi olarak öğretilir. Kendi matrisinin ayrışımını ve rankını matris rankı ve LU ayrışımı aracında görebilir, adım adım eliminasyonu Gauss eliminasyonu hesaplayıcısıyla karşılaştırabilirsin.