Sinüs teoremi

Bir nehrin karşı kıyısındaki ağaca olan uzaklığı ölçmek istiyorsun ama karşıya geçemiyorsun. Kendi kıyında bilinen bir mesafe ve iki açı ölçmen yeterlidir; gerisini sinüs teoremi çözer. Ölçmecilikte nirengi (üçgenleme) yönteminin temelinde bu bağıntı vardır.

Formül

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

a, b, c kenarlar; A, B, C sırasıyla bu kenarların karşısındaki açılar; R ise üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Teorem dik üçgenle sınırlı değildir, her üçgende geçerlidir.

Örnek

Bir üçgende A = 30°, B = 45° ve a = 10 cm verilsin. Önce C = 180° − 30° − 45° = 105° bulunur. Ardından b = 10 × sin 45° / sin 30° = 10 × 0,7071 / 0,5 ≈ 14,14 cm ve c = 10 × sin 105° / sin 30° ≈ 10 × 0,9659 / 0,5 ≈ 19,32 cm olur. Çevrel çember yarıçapı R = 10 / (2 × 0,5) = 10 cm'dir. Bu tür problemleri sinüs ve kosinüs teoremli üçgen çözücüyle doğrudan çözebilirsin.

Ne zaman sinüs, ne zaman kosinüs?

• İki açı ve bir kenar biliniyorsa: sinüs teoremi
• İki kenar ve bunların arasındaki açı biliniyorsa: kosinüs teoremi
• Üç kenar biliniyorsa: önce kosinüs teoremiyle bir açı bulunur

Belirsiz durum

İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde (KKA durumu) sinüs teoremi iki farklı açı verebilir; çünkü sin x = sin(180° − x)'tir. Örneğin sin B = 0,8 sonucundan B ≈ 53,1° veya B ≈ 126,9° çıkar. Diğer açılarla toplamı 180°'yi aşmayan her çözüm geçerli bir üçgen oluşturur; bu yüzden bazı problemlerin iki cevabı, bazılarının hiç cevabı yoktur.

Dikkat edilecek noktalar

Hesap makinesinin derece modunda olduğundan emin ol. Açıyı sinüs değerinden geri bulurken arcsin işlemi yalnızca 0°–90° aralığında sonuç verir; geniş açı olasılığını kendin kontrol etmelisin. Temel değerler için trigonometri hesaplama aracı kullanılabilir.