Üstel büyüme
Kısa tanım
Bir büyüklüğün her dönemde mevcut değerinin sabit bir oranı kadar artmasıdır; artış miktarı zamanla hızlanır ve grafiği yukarı doğru kıvrılır.
Diğer adları: Üstel artış, Eksponansiyel büyüme
Doğrusal büyümede her dönem sabit bir miktar eklenir: 100, 110, 120, 130. Üstel büyümede ise her dönem mevcut değerin sabit bir yüzdesi eklenir: %10 ile 100, 110, 121, 133,1. Başta fark küçük görünse de zamanla üstel seri doğrusal olanı kat kat geçer.
Formüller
Kesikli dönemlerde: N(t) = N₀ × (1 + r)ᵗ. Sürekli büyümede: N(t) = N₀ × e^(rt). r büyüme oranı, t dönem sayısıdır. Bileşik faiz, nüfus artışı, bakteri üremesi ve salgınların erken dönemi bu modelle açıklanır.
Örnek: Yılda %8 büyüyen bir yatırım 10 yıl sonunda 1,08¹⁰ ≈ 2,16 katına çıkar. Aynı tutar doğrusal olarak her yıl başlangıcın %8'i kadar artsaydı 1,8 katına ulaşırdı. Farklı oranları üstel büyüme ve azalma hesaplamasıyla karşılaştırabilirsin; para için aynı hesap bileşik faiz adını alır.
İkiye katlanma süresi ve 72 kuralı
Bir büyüklüğün iki katına çıkma süresi ln 2 / ln(1 + r) ile bulunur. Pratikte 72'yi yüzde cinsinden orana bölmek iyi bir yaklaşımdır: %8 büyüme yaklaşık 72 / 8 = 9 yılda iki katı demektir. Enflasyon için de geçerlidir: yıllık %24 enflasyonda fiyatlar yaklaşık 3 yılda ikiye katlanır.
Üstel azalma ve sınırlar
Oran negatifse büyüklük her dönem bir önceki değerin sabit oranı kadar azalır; radyoaktif bozunma ve ilaçların vücuttan atılması buna örnektir. Gerçek dünyada hiçbir üstel büyüme sonsuza kadar sürmez; kaynaklar sınırlandığında büyüme yavaşlar ve lojistik eğriye döner. Dünya nüfusunun bugünkü tahmini büyüklüğünü ve artışını nüfus sayacında izleyebilirsin.