Karmaşık sayı
Kısa tanım
Karmaşık sayı, a + bi biçiminde yazılan, a gerçek kısmı ile b sanal kısmından oluşan ve i² = −1 eşitliğini sağlayan i birimini içeren sayıdır.
Diğer adları: Kompleks sayı, Sanal sayı
x² + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılarda çözümü yoktur; çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamaz. Matematikçiler bu engeli aşmak için karesi −1 olan yeni bir birim tanımladı: i. Bu birimle kurulan sayı sistemine karmaşık sayılar denir.
Gösterim
Her karmaşık sayı z = a + bi biçimindedir. a gerçek kısım (Re z), b sanal kısımdır (Im z). b = 0 ise sayı gerçek sayıdır; dolayısıyla gerçek sayılar karmaşık sayıların bir alt kümesidir. z'nin eşleniği a − bi'dir.
Dört işlem
- Toplama: (3 + 2i) + (1 − 4i) = 4 − 2i
- Çarpma: (3 + 2i)(1 − 4i) = 3 − 12i + 2i − 8i² = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i
- Bölme: Pay ve payda paydanın eşleniğiyle çarpılır; böylece paydadaki i ortadan kalkar.
i'nin kuvvetleri dörtlü döngü izler: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. Bu yüzden i¹⁰³ için üs 4'e bölünür; kalan 3 olduğundan sonuç −i'dir. İşlemleri karmaşık sayı hesaplama aracında kontrol edebilirsin.
Geometrik yorum: modül ve argüman
Karmaşık sayı, yatay eksende gerçek, dikey eksende sanal kısmın yer aldığı bir düzlemde nokta olarak çizilebilir. Orijine uzaklık modüldür: |z| = √(a² + b²); 3 + 4i için |z| = 5. Pozitif gerçek eksenle yaptığı açı ise argümandır. Bu iki değerle sayı kutupsal biçimde r(cos θ + i sin θ) olarak yazılır; çarpma işleminde modüller çarpılır, açılar toplanır. Dönüşüm için kartezyen-kutupsal koordinat dönüştürücüsü yardımcı olur.
Nerede kullanılır?
Alternatif akım devrelerinde empedans, sinyal işleme, kuantum mekaniği ve kontrol sistemleri karmaşık sayılar olmadan neredeyse anlatılamaz. Elektrik mühendisliğinde akım sembolü i ile karışmasın diye sanal birim genellikle j ile gösterilir. İkinci dereceden denklemlerde diskriminant negatif çıktığında kökler de eşlenik karmaşık sayılardır.